HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho họ đường cong
( m là tham số )
Biện luận theo m số đường cong của họ
đi qua điểm
cho trước.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Ta có :

Họ đường cong
đi qua điểm


(1)
Xem (1) là phương trình theo ẩn m.
Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M0
Cụ thể:
Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M0
Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M0
Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M0
Trong trường hợp này ta nói rằng M0 là điểm cố định của họ đường cong


Dạng 1:
TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho họ đường cong
( m là tham số )
Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Gọi
là điểm cố định (nếu có) mà họ (Cm) đi qua. Khi đó phương trình:

nghiệm đúng
m (1)
Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:
Dạng 1:


Dạng 2:


Áp dụng định lý:

(2)

(3)
Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được



Bài tập
Bài 1. Cho họ (Cm)
. CMR: Khi m thay đổi thì họ đường cong luôn qua một điểm cố định.
Bài 2. Cho họ đồ thị (Cm):
. Tìm các điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi

Bài 3. Cho họ (Cm) có phương trình:
. Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4. Cho hàm số (Cm):

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
Chứng minh rằng họ đường cong luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. Cho hàm số:
. Gọi (Hm) là đồ thị của hàm số đã cho.
Chứng minh rằng với mọi
, họ đường cong luôn qua 2 điểm cố định.
Gọi M là giao điểm của 2 tiệm cận. Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.
Bài 6. Cho hàm số:
. Chứng minh rằng họ đồ thị luôn qua ba điểm cố định và 3 điểm cố định đó cùng nằm trên một đường thẳng.

Dạng 2: Tìm điểm họ đồ thị hàm số không đi qua
Phương pháp:
B1: Giả sử M(x0; y0) là điểm mà họ đường cong không thể đi qua.
B2: Khi có phương trình:
vô nghiệm với m từ đó tìm được (x0; y0)
B3: Kết luận về điểm mà họ đường cong không thể đi qua.

Bài 1. Cho hàm số
. Tìm các điểm mà (Cm) không thể đi qua.
Bài 2. Cho hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
Tìm các điểm trên đường thẳng x = 1, sao cho không thể có giá trị nào của m để đồ thị hàm số đi qua.
Bài 3. Cho đồ thị hàm số
. Chứng minh rằng trên đường cong y = x2 có hai điểm mà (Cm) không đi qua với mọ m.